Деривати бројева: методе израчуна и примери

Образовање:

Вероватно је концепт деривата познат свима од њихнас од средње школе. Обично, студенти имају потешкоће да разумеју ову, несумњиво, веома важну ствар. Активно се користи у различитим областима живота људи, а многа инжењерска достигнућа заснована су управо на математичким прорачунима изведеним из деривата. Али пре него што пређемо на анализу онога што су изведени бројеви, како их израчунати и где ће нам бити корисни, уђем у историју.

Историја

Концепт деривата, који је основаматематичка анализа је била отворена (боље је чак и рећи "измишљено" јер је у природи није постојао као такав) Исаац Невтон, који сви знамо откривајући закон универзалне перцепције. Он је први који је применио овај концепт у физици да повеже природу брзине и убрзања тела. И многи научници још увек похвале Њутну за овај величанствени проналазак, јер је заправо измислио основу диференцијалног и интегралног рачунала, заправо, основе читаве области математике под називом "математичка анализа". Да је био добитник Нобелове награде, Њутн би то вероватно освојио неколико пута.

Не без других великих умова. Поред Њутна, такви еминентни генији математике као што су Леонард Еулер, Лоуис Лагранге и Готтфриед Леибнитз су радили на развоју деривата и интеграла. Захваљујући њима смо добили теорију диференцијалног рачунала у облику у којем и данас постоји. Иначе, Леибниз је открио геометријско значење деривата, који се испоставило да није ништа осим тангенте угла нагиба тангенте на графикон функције.

Шта су изведени бројеви? Мало понављам шта се догодило у школи.

изведени бројеви

Шта је дериват?

Овај концепт може се дефинисати са неколико различитихна начине. Најједноставније објашњење: дериват је стопа промјене функције. Замислите граф неких функција и од к. Ако није директно, онда има неколико кривих у графу, периоди повећања и смањења. Ако узмемо неки бесконачно мали интервал овог графика, то ће бити сегмент праве линије. Дакле, однос величине овог бескрајно малог сегмента дуж координате и до величине дуж к координата биће дериват ове функције у датој тачки. Ако посматрамо функцију као целину, а не у одређеној тачки, добијамо функцију деривата, односно извесну зависност игара на Кс.

Поред физичког значаја деривата као брзине промене функције, постоји и геометријско значење. Сада ћемо причати о томе.

добијени бројеви ово

Геометријско значење

Сами произведени бројеви суодређени број који без разумевања нема значење. Испоставља се да дериват не само показује брзину раста или смањења функције, већ и тангенцију угла нагиба тангенте на граф функције у датој тачки. Није сасвим јасна дефиниција. Размотримо га детаљније. Претпоставимо да имамо графикон функције (за интерес, узмите криву). Има бесконачан број бодова, али постоје области у којима само једна тачка има максималан или минималан. Кроз сваку такву тачку можете нацртати линију која би била нормална на графикон функције у тој тачки. Таква линија ће се назвати тангентом. Претпоставимо да смо га имали прије раскрснице са осом ОКС. Дакле, угао добијен између тангенте и оси ОКС биће одређен дериватом. Или тачније, тангент овог угла биће једнак са њим.

Хајде да разговарамо мало о посебним случајевима и анализирамо извучене бројеве.

дериват комплексног броја

Посебни случајеви

Као што смо рекли, деривати бројева су вредности деривата у одређеној тачки. Овде, на пример, узми функцију и = к2. Дериват к је број, ау општем случају функција једнака 2 * к. Ако је потребно израчунати дериват, рецимо, на к0= 1, онда добијамо и "(1) = 2 * 1 = 2. Све је врло једноставно. Интересантан случај је дериват комплексног броја. Нећемо детаљно објаснити шта је комплексан број. Само кажемо да је ово број који садржи тзв. Имагинарну јединицу - број чији је квадрат -1. Израчун таквог деривата је могућ само ако су испуњени следећи услови:

1) Морају постојати парцијални деривати првог реда из реалног и имагинарног дела у смислу Кс и И.

2) Цауцхи-Риеманнови услови су испуњени у односу на једнакост парцијалних деривата описаних у првом параграфу.

Још један занимљив случај, иако не такокао и претходни, је дериват негативног броја. У ствари, било који негативни број може се представити као позитиван, помножен са -1. Али дериват константе и функција је једнака константи помноженој са дериватом функције.

Биће занимљиво сазнати о улози деривата у свакодневном животу, а то ћемо сада расправљати.

дериват к број

Апликација

Вероватно свако од нас бар једном у животу хватаја сам мислио да му математика једва да је корисна. И тако сложена ствар као дериват вероватно нема никакву примену. У ствари, математика је фундаментална наука, и сви њени плодови су развијени углавном од стране физике, хемије, астрономије, па чак и економије. Дериват је иницирао математичку анализу, која нам је дала прилику да извучемо закључке из графикона функција, и научили смо тумачити законе природе и претворити их у нашу корист захваљујући њему.

негативни дериват

Закључак

Наравно, не може сватко доћи.у стварном животу. Али математика развија логику која ће свакако бити потребна. Није за математику математика названа краљица наука: из ње се праве основе разумијевања других области знања.

Коментари (0)
Додајте коментар